[2016년 대화고]

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[2학년 2학기 중간 확률과 통계]

주머니 속에 흰 공 [eqn: 3]개와 빨간 공 [eqn: 2]개가 들어있다. 이 주머니에서 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 나오는 흰 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 흰 공이 적어도 한 개 나올 확률은? [4.3]

⑤

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over5]	③ [eqn: 7over10]

④ [eqn: 4over5]	⑤ [eqn: 9over10]

한 개의 주사위를 [eqn: 180]번 던져서 [eqn: 1]의 눈이 [eqn: 25]번 이상 [eqn: 40]번 이하 나올 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4.3점]

④

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 0.5328]	② [eqn: 0.6247]	③ [eqn: 0.7745]

④ [eqn: 0.8185]	⑤ [eqn: 0.8413]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)=kx^2`(0 le x le 3)]일 때, 상수 [eqn: k]의 값과 확률 [eqn: {rmP}(0.5 le X le 2.5 )]의 값을 순서대로 나열한 것은? [4.3점]

④

① [eqn: 1over3], [eqn: 22over27]	② [eqn: 1over3], [eqn: 23over27]	③ [eqn: 1over9], [eqn: 29over54]

④ [eqn: 1over9], [eqn: 31over54]	⑤ [eqn: 1over9], [eqn: 35over54]

확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: {rmE}(X)=30], [eqn: {rmV}(X) =5] 일 때, 확률변수
[eqn: Y= -3X+2]의 평균과 분산은 각각 [eqn: a], [eqn: b]이다. [eqn: a+b]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: -103]	② [eqn: -101]	③ [eqn: -43]

④ [eqn: -41]	⑤ [eqn: -39]

[eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]의 값을 갖는 확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가
[eqn: {rmP}(X=x)= {{ax+1} over10]
일 때, [eqn: {rmP}(X^2 -3X +2=0)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4.4점]

③

① [eqn: 3over10]	② [eqn: 2over5]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 3over5]	⑤ [eqn: 7over10]

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가
[eqn: {rmP}(X=x)= _100 {rmC}_x left( 1over10 right)^x left( 9 over10 right)^100-x](단, [eqn: x=0,``1,``2,``cdots,``100])
일 때, [eqn: sum_x=0^100 (2x+1)^2 `{rmP}(X=x)]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: 41]	② [eqn: 81]	③ [eqn: 365]

④ [eqn: 477]	⑤ [eqn: 801]

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
[eqn: a= sum_x=0^10 `_10{rmC}_x left(1over2 right)^x left(1over2right)^10-x],
[eqn: b= sum_x=0^10`x``_10{rmC}_x left(1over2 right)^x left(1over2 right)^10-x],
[eqn: c=sum_x=1^10`x^2``_10{rmC}_x left(1over2 right)^x left(1over2 right)^10-x]
일 때, [eqn: 100a+8b+2c]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: 175]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 185]

④ [eqn: 190]	⑤ [eqn: 195]

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가
[eqn: {rmP}(X=x) = {x+2} over10`(x=-1,``0,``1,``2)]
이다. 확률변수 [eqn: Y=aX+b`(a>0)]의 평균이 [eqn: 0], 분산이 [eqn: 1]이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

빨간 공이 [eqn: a]개, 파란 공이 [eqn: 9]개 들어 있는 주머니에서 공을 [eqn: 1]개 꺼내어 색을 확인한 후, 다시 넣는 시행을 [eqn: n]번 반복할 때, 빨간 공이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. [eqn: {rmE}(X)=30], [eqn: {rmV}(X)=5] 일 때, [eqn: a-n]의 값은? [4.5점]

①

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포 [eqn: {rmN}(0,```1^2 )]을 따른다고 할 때,
[eqn: {rmP}(-1.96 le Z le 1.96)=0.95]이다. 확률변수 [eqn: X]가 정규분포
[eqn: {rmN}(50,```5^2 )]을 따르고 [eqn: {rmP}( |X-50 | le a )=0.95]일 때, 상수 [eqn: a]의
값은? [4.5점]

④

① [eqn: 1.96]	② [eqn: 2.45]	③ [eqn: 4.9]

④ [eqn: 9.8]	⑤ [eqn: 19.6]

한 개의 주사위를 [eqn: 20]번 던져서 [eqn: 1]의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4,5점]

②

ㄱ. [eqn: {rmP}(X=1)=2{rmP}(X=0)]

ㄴ. [eqn: {rmE}(X^2 )= 125 over9]

ㄷ. [eqn: {rmV}(-2X-9) <1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄷ

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B it (n,``` {1} over {3} )]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: {rmB}(2n, ```2over5 )]를 따른다고 한다. [eqn: {rmE}(2X)+{rmE}(3Y)=92]일 때,
[eqn: {rmV}(3X)+{rmV}(5Y)]의 값은? [4.5점]

⑤

① [eqn: 92]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 180]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 420]

어느 공장에서 생산사는 나사못의 인장 강도 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN}(m,```sigma^2 )]을 따르고, 인장 강도가 [eqn: 80]보다 작은 나사못은 불량품으로 처리한다. 또, 이 공장의 능력을 평가하는 공정능력지수 [eqn: G]는 다음과 같다.
[eqn: G= {m-80} over3sigma]
이 공장에서 생산되는 나사못 [eqn: 10000]개당 불량품이 [eqn: 82]개일 때, [eqn: 10G]의 값은? (단, [eqn: G>0], 확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포를 따를 때, [eqn: {rmP}( 0 le Z le 2.4 )=0.4918]) [4.6점]

②

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

연속확률변수 [eqn: X]가 갖는 값의 범위는 [eqn: 0 le X le 6]이고, [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음 조건을 만족시킨다.

확률 [eqn: {rmP}(a le X le a+2)]의 값은 [eqn: a=k] 일 때, 최댓값을 갖는다. 상수 [eqn: k]의 값은? [4.6점]

(가) [eqn: f(x)]은 원점을 지나가는 이차함수이다.

(나) [eqn: f(3-x)=f(3+x)]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

학생 수가 서로 같은 세 고등학교 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]의 수학점수를 확률변수 [eqn: X_1], [eqn: X_2], [eqn: X_3]라고 할 때, [eqn: X_1], [eqn: X_2], [eqn: X_3]는 각각 정규분포 [eqn: {rmN}(m_1,```sigma_1^2 )], [eqn: {rmN}(m_2,```sigma_2^2 )], [eqn: {rmN}(m_3,```sigma_3^2 )]을 따른다. [eqn: m_1], [eqn: m_2], [eqn: m_3]와 [eqn: sigma_1] [eqn: sigma_2], [eqn: sigma_3]의 관계가 다음과 같을 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: sigma_1 >0], [eqn: sigma_2 > 0], [eqn: sigma_3 >0]이다.) [4.6점]

①

(가) [eqn: m_1 = m_2 <m_3]

(나) [eqn: sigma_1 < sigma_2 = sigma_3]

ㄱ. [eqn: {rmP}(X_1 le m_1 )={rmP}(X_2 le m_2 ) ={rmP}(X_3 le m_3 )]

ㄴ. [eqn: {rmP}(m_2 le X_2 le 2m_2 )> {rmP}(0 le X_3 le m_3 )]

ㄷ. [eqn: rmB]고등학교의 수학 점수가 [eqn: rmA]고등학교의

수학점수보다 더 고르다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄷ

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {rmN}(m, sigma^2 )]을 따르고,
[eqn: rm P it LEFT ( LEFT |{X-m} over sigma RIGHT | ge1 right) = alpha], [eqn: {rmP}(m-2sigma le X le m+sigma)=beta]
라고 할 때, 확률 [eqn: {rmP}(X le m+2 sigma)]를 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]로 표현하면
[eqn: a alpha + b beta + c]이다. 이 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.) [4.6점]

⑤

① [eqn: - 3over2]	② [eqn: - 1over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 3over2]

확률변수 [eqn: X]는 평균이 [eqn: 10], 표준편차가 [eqn: a]인 정규분포를 따르고, 확률변수 [eqn: Y]는 평균이 [eqn: 20], 표준편차가 [eqn: b]인 정규분포를 따른다. [eqn: {rmP}(X ge14)={rmP}(Y le 14)]이고, [eqn: a+2b=8]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a>0]. [eqn: b>0]이다.) [4.7점]

②

① [eqn: 7over2]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 15over2]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 55over4]

주사위를 [eqn: n]번 던져서 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: {rmP} left( LEFT | X - n over3 RIGHT | le 7 right) ge 0.9544]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최댓값은? (단, [eqn: n]은 충분히 크고, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수 일 때, [eqn: {rmP}(0 le Z le 2)=0.4772]로 계산한다.) [4.7점]

④

① [eqn: 52]	② [eqn: 53]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 56]

다음은 확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {rmB}(n,```p)]를 따를 때,
[eqn: {rmE}(X) = np], [eqn: {rmV}(X)=npq]임을 보이는 과정이다.

위의 증명에서 [eqn: (가)], [eqn: (나)], [eqn: (다)]에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은? [4.7점]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {rmB}(n,```p)]를 따를 때

[eqn: X]의 확률질량함수
[eqn: {rmP}(X=x)= _q {rmC}_x p^x q^n-x] ([eqn: q=1-p], [eqn: x=0,```1,```2,```cdots,```n])
과 이항정리를 이용하여 [eqn: {rmE}(X)=np], [eqn: {rmV}(X)=npq]임을 알아보자.

① [eqn: {rmE}(X) =np]

[eqn: {rmE}(X)= sum_x=0^n x{rmP}(X=x)=sum_x=0^n x`_n{rmC}_x`p^x q^n-x]

이때, [eqn: x`_n{rmC}_x =x cdot {n!} overx!(n-x)! = n cdot(가)]이므로

[eqn: {rmE}(X)=sum_x=1^n n cdot (가) cdot p^x q^n-x]

[eqn: = np sum_x=1^n (가) cdot p^x-1 q^{(n-1)-(x-1)}]

[eqn: = np(p+q)^n-1 = np]

② [eqn: {RmV}(X)=npq]

[eqn: {rmE}(X^2 )=sum_x=0^n x^2 {rmP}(X=x)=sum_x=0^n x^2`_n{rmC}_x`p^x q^n-x]

[eqn: =sum_x=0^n left{x(x-1)+x right} _n{rmC}_x p^x q^n-x]

[eqn: =sum_x=0^n x(x-1) _n{rmC}_x p^x q^n-x + sum_x=0^n x `_n{rmC}_x p^x q^n-x]

이 때,

[eqn: x(x-1) _n{rmC}_x = x(x-1) cdot n! over x!(n-x)!]

[eqn: =(나) cdot_n-2 {rmC} _x-2]

이므로

[eqn: {rmE}(X^2 )][eqn: =(나) CDOT p ^{2} sum _{x=2} ^{n} ` _{n-2} rm C it rm _{x-2} `p ^{x-2} q ^{(n-2)-(x-2)}# ``````````````````````````+ sum _{x=0} ^{n} x` _{n} rm C it rm _{x} `p ^{x} q ^{n-x}]

[eqn: =(나) cdot p^2 (p+q)^n-2 + (다)]

따라서

[eqn: {rmV}(X) = {rmE}(X^2 )-left{{rmE}(X) right}^2][eqn: =(나) cdot p ^{2} +(다)-(np)^2 =npq]

①

[eqn: (가)]	[eqn: (나)]	[eqn: (다)]

① [eqn: `_n-1 {rmC}_x-1]	[eqn: n(n-1)]	[eqn: np]

② [eqn: `_n-1 {rmC} _x-1]	[eqn: n(n+1)]	[eqn: np]

③ [eqn: `_n{rmC}_x]	[eqn: n(n-1)]	[eqn: np]

④ [eqn: `_n {rmC}_x]	[eqn: n(n-1)]	[eqn: npq]

⑤ [eqn: `_n{rmC}x]	[eqn: n(n+1)]	[eqn: npq]

빨강, 파랑, 노랑, 초록의 [eqn: 4]가지 색깔의 공이 각각 [eqn: 2]개씩 모두 [eqn: 8]개가 들어있는 주머니에서 동시에 [eqn: 4]개의 공을 꺼낼 때, 나오는 색의 종류의 수를 확률변수 [eqn: X]로 나타낸다. 확률변수 [eqn: X]의 기댓값 [eqn: {rmE}(X)]의 값은? [4.7점]

⑤

① [eqn: 72 over 35]	② [eqn: 76 over 35]	③ [eqn: 78 over 35]

④ [eqn: 104 over 35]	⑤ [eqn: 22 over 7]

서술형

숫자 [eqn: 0], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 4]가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 6]장의 카드가 들어 있는 상자에서 임의로 [eqn: 3]장의 카드를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 [eqn: 3]장 카드에 적힌 수의 곱을 확률변수 [eqn: X]라 하자. [총 5.0점]

(1)

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 4]	[eqn: 8]	[eqn: 16]
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 4over5]	[eqn: 1over20]	[eqn: 1over10]	[eqn: 1over20]

(2) [eqn: 9over5]

(3) [eqn: 419over25]

(1) 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내시오. [2.0점]

[eqn: X]					합계
[eqn: {rmP}(X=x)]

(2) [eqn: {rmE}(X)]의 값을 구하시오. [1.0점]

(3) [eqn: {rmV}(X)]의 값을 구하시오. [2.0점]

연속확률변수 [eqn: X]가 갖는 값의 범위는 [eqn: 0 le X le 7]이고, 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 그림과 같다.
[eqn: p_1 = {rmP}(0 le X le 2)], [eqn: p_2 ={rmP}(2 le X le b)], [eqn: p_3 = {rmP}( b le X le 7)]
일 때, [eqn: p_2]는 [eqn: p_1]과 [eqn: p_3]의 등비중항이다. [eqn: a]와 [eqn: b]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이고, [eqn: 2 <b<5]이다.) [5.0점]

[eqn: a= { 1} over { 7}], [eqn: b=4]

[2016년 대화고]

[2학년 2학기 중간 확률과 통계]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com